如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，点B到AC边的距离为2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，

∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中，

∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∵BM+MN=BM+ME≥BE，
∴当BE⊥AC时，BM+MN有最小值，
∵点B到AC边的距离为2，
∴BM+MN最小值为2，
故答案为：2．

略