（2008天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN²=AM²+BN²
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式：MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案
（1）将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，∴DM=DN，∠ACM=∠DCM，∠A=∠MDC。因为∠DCM+∠DCF=45°，∠ACM+∠BCN=45°，所以∠DCN=∠BCN，又因为CA=CD,CA=CB,所以，CD=CB,又因为CN=CN,所以△CDN≌△CBN。所以DN=BN,∠B=∠CDN，所以，∠MDN=∠MDC+∠CDN=∠A+∠B=90°。所以MD2+ND2=MN2,,所以MN2=AM2+BN2
（2）将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN。所以，AM=DM，∠DCM=∠ACM，在△CBN和△CDN中，CB=CD，CN=CN，∠BCN=90°-∠NCA=90°-（45°-∠ACM）=45°+∠ACM=45°+∠DCM，∠DCN=∠DCM+NCM=45°+∠DCM，所以△CDN≌△CBN（SAS），所以，DN=BN，又因为∠MDN=∠MDC-∠NDC=∠MAC-∠B=∠ACB=90°。所以在Rt△DMN中，MN2=DM2+DN2，所以MN2=AM2+BN2
知识点：翻折变换（折叠问题）
考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．（1）可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．（2） 可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．
将三条线段转移到同一个三角形中，来证明。
WORD格式（
