（2011四川南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点.
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC（即MC＇)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值.
答案
解：（1）过点A作AE⊥BC交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F
则AD=EF=2，
∵四边形ABCD为等腰梯形，∠C=60°
∴∠BAE=∠CDF=30°
∵CD=AB=2
∴CF=BE=1
从而BC=BE+EF+CF=1+2+1=4
∵M为BC的中点
∴MC=2
∴△MDC为等边三角形（有一个角为60° 的等腰三角形为等边三角形）
（2）解：连接AM，则△AMB为等边三角形
∴BM=AM，∠B=∠MAD=60°
由∠1+∠2=60°，∠1+∠3=60°得：∠2=∠3
在△AMF和△BME中
∴△AMF≌△BME（ASA）
∴AF=BE，ME=MF
∵∠EMF=60°
∴△EMF为等边三角形
∴EF=EM
从而△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+BE+EM=AB+EM=2+EM
∴要想△AEF的周长最小，只需EM最小
显然当△MDC旋转至EM⊥AB时EM最小，此时EM为等边三角形ABM的高线，故EM=
从而△AEF的周长的最小值为2+
知识点：等腰梯形的性质
转移线段，将△AEF的周长转换成已知线段长度的和的最小值
证明出△AMF≌△BME是关键
WORD格式（
