（2011四川）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．（1）求证：OB丄OC；（2）若AD= 12，∠BCD=60°，⊙O₁与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O₁的面积．

答案

证明：
（1）∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD为直径，
∴AB，BC，CD均与半圆O相切，
∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．
又AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．
∴2∠CBO+2∠BCO=180°，
于是∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°，即OB⊥OC．

（2）设CD切⊙O₁于点M，连接O₁M，则O₁M⊥CD．设⊙O₁的半径为r．
∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O₁CM，∴∠O₁CM=30°．
在Rt△O₁CM中，CO₁=2O₁M=2r．在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．
∵⊙O₁与半圆D外切，∴OO₁=6+r，
于是，由OO₁+O₁C=OC，即6+r+2r=12，解得r=2，因此⊙O₁的面积为4π．

知识点：直角梯形  圆与圆的位置关系  

（1）证明两个锐角的和等于90°即可；（2）求得⊙O₁的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．

没有根据相切两圆半径之间的关系确定两圆心之间的距离

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