已知抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线是抛物线的对称轴.
(1)如图,设P是直线上的一个动点,当△PAC的周长最小时,点P的坐标为(    ),对应的周长最小值为(    )

  • A.(1,1),
  • B.(1,6),
  • C.(1,2),
  • D.(1,2),

答案

正确答案:D

知识点:二次函数背景下的存在性问题  轴对称—线段之和最小  

解题思路

已知抛物线与x轴两交点的坐标,可设抛物线的交点式,
设抛物线的解析式为,把C点坐标代入可得,
∴抛物线的解析式为,对称轴为直线x=1.
△PAC的周长:
其中,要求的最小值,只需求PA+PC的最小值即可.
P是直线上的一个动点,点A,C在直线的同侧,
要求最小值,调用奶站模型,作对称,使点A,C在直线的异侧.
如图,作点A关于直线的对称点(点与点B重合),

连接,与直线的交点即是PA+PC最小时对应的点P,
此时
的最小值为
易求得直线的表达式为y=-x+3,
当x=1时,y=2,即点P的坐标为(1,2).
综上得,当△PAC的周长最小时,点P的坐标为(1,2),
对应的周长最小值为

易错点

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